導(dǎo)言

光作為一種重要的信息載體和能量形式，其特性與行為的研究一直是光學(xué)領(lǐng)域的核心內(nèi)容。渦旋光是一種具有獨(dú)特螺旋相位結(jié)構(gòu)和軌道角動(dòng)量的特殊光束，與傳統(tǒng)的平面波或高斯光束不同，其波前呈現(xiàn)螺旋狀，相位分布圍繞光束中心具有2π的整數(shù)倍變化，這使得每個(gè)光子攜帶了與拓?fù)潆姾蓴?shù)相關(guān)的軌道角動(dòng)量。這種獨(dú)特的性質(zhì)賦予了渦旋光在眾多領(lǐng)域（光通信、光學(xué)成像、光學(xué)操縱、量子光學(xué)、激光加工、光存儲(chǔ)等領(lǐng)域）潛在的應(yīng)用價(jià)值。研究渦旋光的衍射特性，不僅有助于深入理解渦旋光的基本物理性質(zhì)，揭示其在傳播過程中的行為規(guī)律，還能為上述應(yīng)用提供堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，推動(dòng)相關(guān)技術(shù)的發(fā)展和創(chuàng)新。通過對(duì)渦旋光衍射的研究，可以優(yōu)化渦旋光的產(chǎn)生、傳輸和檢測(cè)方法，提高其在實(shí)際應(yīng)用中的性能和效率，從而為解決實(shí)際問題提供更有效的光學(xué)工具和技術(shù)方案。

摘要

本文就基于衍射圖樣的拓?fù)潆姾蓴?shù)測(cè)量方法進(jìn)行了理論分析、數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。在理論分析方面，基于惠更斯-菲涅爾原理和標(biāo)量衍射理論，建立渦旋光衍射的數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)渦旋光在不同衍射條件下的光場(chǎng)分布表達(dá)式，結(jié)合數(shù)值模擬，利用 MATLAB軟件平臺(tái)，編寫相應(yīng)的程序?qū)u旋光衍射過程進(jìn)行模擬仿真。通過數(shù)值模擬，可以直觀地展示渦旋光在不同參數(shù)條件下的衍射光場(chǎng)分布情況，深入分析各種因素對(duì)衍射特性的影響，為實(shí)驗(yàn)研究提供指導(dǎo)和補(bǔ)充。在實(shí)驗(yàn)研究方面，搭建渦旋光產(chǎn)生與衍射實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，利用空間光調(diào)制器、螺旋相位板等光學(xué)元件產(chǎn)生不同拓?fù)潆姾蓴?shù)的渦旋光，并通過設(shè)置不同的衍射障礙物或孔徑，觀察和記錄渦旋光的衍射圖樣。采用 CCD 相機(jī)、光電探測(cè)器等設(shè)備對(duì)衍射光場(chǎng)進(jìn)行測(cè)量和分析，獲取實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，驗(yàn)證理論分析和數(shù)值仿真的正確性。

渦旋光衍射理論分析

基于惠更斯 - 菲涅爾原理和標(biāo)量衍射理論，可對(duì)渦旋光的衍射特性進(jìn)行深入的理論分析。假設(shè)渦旋光的初始電場(chǎng)分布為[數(shù)學(xué)公式]，在柱坐標(biāo)系下，其表達(dá)式可寫為：

其中，是振幅函數(shù)，描述了渦旋光在徑向的振幅分布，l為拓?fù)浜蓴?shù)，是方位角。

當(dāng)渦旋光遇到衍射障礙物或通過衍射孔徑時(shí)，根據(jù)惠更斯 - 菲涅爾原理，波面上的每一點(diǎn)都可看作是新的子波源，這些子波源發(fā)出的子波在空間中相互干涉、疊加，從而形成衍射光場(chǎng)。對(duì)于菲涅爾衍射，在距離衍射屏z處的光場(chǎng)分布可通過菲涅爾衍射積分公式計(jì)算：

其中， 為波數(shù)，是光的波長(zhǎng)，是衍射屏上的坐標(biāo)，是觀察平面上的坐標(biāo)。

在夫瑯禾費(fèi)衍射條件下，當(dāng)接收屏和衍射屏的距離足夠遠(yuǎn)時(shí)，衍射光場(chǎng)的分布可通過夫瑯和費(fèi)衍射衍射積分公式簡(jiǎn)化計(jì)算：

在衍射過程中，渦旋光的相位和強(qiáng)度會(huì)發(fā)生顯著變化。由于渦旋光本身具有螺旋相位結(jié)構(gòu)，在衍射時(shí)，這種相位結(jié)構(gòu)會(huì)與衍射引起的相位變化相互作用。對(duì)于相位變化，衍射會(huì)導(dǎo)致相位的重新分布，使得渦旋光的螺旋相位在空間中的分布發(fā)生改變，從而影響其波前的形狀和傳播方向。而在強(qiáng)度方面，衍射會(huì)使渦旋光的光強(qiáng)分布發(fā)生變化，原本的環(huán)形光強(qiáng)分布在衍射后可能會(huì)出現(xiàn)旁瓣、暗紋等復(fù)雜結(jié)構(gòu)，光強(qiáng)的最大值和最小值的位置也會(huì)發(fā)生改變。通過對(duì)上述衍射積分公式的分析和計(jì)算，可以深入了解渦旋光在衍射過程中相位和強(qiáng)度的具體變化規(guī)律，為進(jìn)一步研究渦旋光的衍射特性提供理論基礎(chǔ)。

渦旋光經(jīng)過不同光闌的衍射計(jì)算模型

假設(shè)渦旋光經(jīng)過一個(gè)特殊形狀的光闌（三角形、星形、方形、太極形等），光闌放置在處為初始光場(chǎng)平面，假設(shè)光闌可用數(shù)學(xué)形式表示，則此時(shí)渦旋光經(jīng)過此光闌后在觀察面z處的光場(chǎng)分布可以用衍射積分公式進(jìn)行計(jì)算：

衍射孔徑的形狀對(duì)渦旋光的衍射圖樣有著顯著影響。不同形狀的衍射孔徑會(huì)導(dǎo)致不同的衍射圖樣特征。

數(shù)值仿真理論基礎(chǔ)

理論上可以用衍射積分公式進(jìn)行直接積分或者進(jìn)行直接的數(shù)值計(jì)算，但是在實(shí)際數(shù)值仿真計(jì)算中，我們可以將衍射積分公式進(jìn)行改寫，其在直角坐標(biāo)系下可以寫為

將上式中積分內(nèi)的指數(shù)項(xiàng)展開，得

定義脈沖響應(yīng)：

令初始光場(chǎng)為,則觀察面z處的光場(chǎng)復(fù)振幅分布為

式中，* 表示卷積。由卷積定理可得

對(duì)脈沖響應(yīng)進(jìn)行傅里葉變換，得到菲涅爾傳遞函數(shù)如下

因此，觀察面z處的光場(chǎng)可改寫為

由此得到了新的衍射計(jì)算形式，通過計(jì)算初始平面光場(chǎng)的頻譜，而后乘以傳遞函數(shù)得到觀察面的頻譜，最后進(jìn)行傅里葉逆變換得到觀察面的光場(chǎng)。而上述計(jì)算形式結(jié)合MATLAB軟件平臺(tái)中的fft2和ifft2函數(shù)可以非?？焖俚倪M(jìn)行數(shù)值仿真計(jì)算。

渦旋光束經(jīng)過不同光闌后的數(shù)值仿真結(jié)果

利用寫好的MATLAB代碼我們仿真了四種異形光闌，其形狀分別為正三角形、星形、方形和太極形，其示意圖如下圖1所示。

圖1：四種異形光闌示意圖。

利用MATLAB得到高斯渦旋光束，然后將其經(jīng)過利用不同分布函數(shù)產(chǎn)生相應(yīng)的異形光闌，利用衍射數(shù)值計(jì)算算法，得到渦旋光束經(jīng)過不同光闌后在觀察平面的光強(qiáng)分布圖。

圖2：渦旋光經(jīng)過不同光闌后的衍射圖樣。實(shí)際對(duì)應(yīng)的物理尺寸為1cm*1cm。

如圖2，下面一行分別示意等邊三角形、五角星、矩形和太極孔光闌。上面一行則是渦旋光經(jīng)過光闌后對(duì)應(yīng)的衍射圖案。值得注意的是，三角孔衍射的結(jié)果能夠被應(yīng)用于渦旋光的檢測(cè)，不僅可以檢測(cè)出渦旋光的拓?fù)浜?，并且其朝向還可以很方便地得到渦旋光拓?fù)浜傻恼?fù)。

圖3：不同拓?fù)浜蓽u旋光經(jīng)過三角形光闌后的衍射圖樣。

如圖3所示，當(dāng)渦旋光經(jīng)過三角形光闌衍射后，一條邊上的散斑數(shù)目恰好等于拓?fù)浜蓴?shù)加1，并且三角形衍射圖樣的朝向與拓?fù)浜傻恼?fù)負(fù)號(hào)有關(guān)。同樣的我們可以分別計(jì)算出渦旋光經(jīng)過星形光闌、方形光闌以及太極光闌之后的衍射圖樣，分別如圖4、圖5、圖6所示。

圖4：不同拓?fù)浜蓽u旋光經(jīng)過星形光闌后的衍射圖樣。

圖5：不同拓?fù)浜蓽u旋光經(jīng)過方形光闌后的衍射圖樣。

圖6：不同拓?fù)浜蓽u旋光經(jīng)過太極光闌后的衍射圖樣。

可以看到，渦旋光束經(jīng)過不同的異形光闌后其衍射圖樣都各不相同，其衍射圖樣也能與拓?fù)浜蓴?shù)及其符號(hào)相關(guān)聯(lián)，具體的對(duì)應(yīng)規(guī)律沒有如三角形光闌的明顯，但是通過圖像視覺的方法可以得到對(duì)應(yīng)的關(guān)系。

我們利用衍射計(jì)算程序可以計(jì)算出在不同平面的衍射圖樣，從而揭示出這些衍射圖樣的形成過程，圖7演示的是渦旋光經(jīng)過三角形光闌后的衍射圖樣的形成過程。

圖7：渦旋光經(jīng)過三角形光闌后的孔衍射圖樣的演化過程

改變衍射屏的形狀，我們同樣可以模擬其他形狀孔徑的衍射圖樣。圖8展示了渦旋光經(jīng)過星形光闌衍射圖樣的形成過程。

圖8：渦旋光經(jīng)過星形光闌后的孔衍射圖樣的演化過程

繼續(xù)改變衍射屏的形狀，可以模擬渦旋光經(jīng)過方形光闌的衍射圖樣，圖9展示了渦旋光經(jīng)過方形孔徑衍射圖樣的形成過程。

圖9：渦旋光經(jīng)過方形光闌后的孔衍射圖樣的形成過程

同樣的，圖10展示了渦旋光經(jīng)過太極光闌孔徑衍射圖樣的演化過程。

圖10：渦旋光經(jīng)過太極光闌后的孔衍射圖樣的演化過程

渦旋光束經(jīng)過不同光闌后的實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)和結(jié)果展示

上面展示的都是理論仿真得到的數(shù)據(jù)，那么在實(shí)驗(yàn)中真實(shí)的情況又是如何呢？我們將結(jié)合UPOLabs的液晶空間光調(diào)制器HDSLM80R Plus來開展實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

由于HDSLM80R Plus是相位型空間光調(diào)制器（SLM），首先我們需要設(shè)法利用相位型器件實(shí)現(xiàn)振幅型器件的等效方法，閃耀光柵法是一種十分有效的方案，通過將異形光闌數(shù)學(xué)表達(dá)式與閃耀光柵進(jìn)行相乘操作，可以很容易地實(shí)現(xiàn)相位型器件轉(zhuǎn)換為振幅型器件使用。同時(shí)我們將渦旋相位也結(jié)合在其中，這樣渦旋光的產(chǎn)生就不需要引入額外的調(diào)制器件。實(shí)驗(yàn)光路示意圖如圖11所示。具體操作后加載到SLM的圖片如圖12-圖15所示。

圖11 實(shí)驗(yàn)光路示意圖。BA：光斑分析儀；PC：筆記本電腦。

圖12：渦旋光三角形光闌衍射SLM加載圖像示意圖

（渦旋光拓?fù)浜蔀?的圖例）

圖13：渦旋光星形光闌衍射SLM加載圖像示意圖

（渦旋光拓?fù)浜蔀?的圖例）

圖14：渦旋光方形光闌衍射SLM加載圖像示意圖

（渦旋光拓?fù)浜蔀?的圖例）

圖15：渦旋太極形光闌衍射SLM加載圖像示意圖

（渦旋光拓?fù)浜蔀?的圖例）

具體的衍射實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖16-圖19所示，圖中的實(shí)際物理尺寸均為1cm*1cm。可以發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)結(jié)果通理論仿真結(jié)果十分吻合。這表明理論仿真結(jié)合SLM實(shí)驗(yàn)研究渦旋光束的衍射特性是一套切實(shí)可行的研究方法，相信該研究范式在其他光場(chǎng)傳輸研究中也能發(fā)揮其效果。

圖16：不同拓?fù)浜蓽u旋光經(jīng)過三角形光闌后的衍射圖樣實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

圖17：不同拓?fù)浜蓽u旋光經(jīng)過星形光闌后的衍射圖樣實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

圖18：不同拓?fù)浜蓽u旋光經(jīng)過方形光闌后的衍射圖樣實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

圖19：不同拓?fù)浜蓽u旋光經(jīng)過太極光闌后的衍射圖樣。

參考文獻(xiàn)

[1] 1. W. Goodman, Introduction to Fourier Optics. New York, NY, USA:McGraw-Hill2005.

[2]  C. Rosales-Guzmán and A. Forbes, How to Shape Light With Spatial Light.Modulators. Bellingham, WA, USA: SPIE,2017.

[3] Shen D, Wang K, Zhao D. Generation and propagation of a new kind of power-exponent-phase vortex beam[J]. Optics express, 2019, 27(17): 24642-24653.